微分積分例

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{8}$ と ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

ステップ 4

$u = 6 x + 7$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = 6 x + 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$6 x + 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $6 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

ステップ 5

$u^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

ステップ 7.2

$6$ に $8$ をかけます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{4}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ です。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ を $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\frac{1}{8}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{x}{8}$ と ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{3}{7}$ に $\frac{1}{48}$ をかけます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.4

$7$ に $48$ をかけます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.5

$3$ と $336$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.2.1

$3$ を $336$ で因数分解します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9.2.6

$- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

ステップ 9.2.7

$- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

ステップ 9.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

ステップ 9.2.9

$u^{\frac{7}{3}}$ と $\frac{1}{112}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

ステップ 9.2.10

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

ステップ 9.2.11

$- 8$ と $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ をまとめます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

ステップ 9.2.12

$8$ を $- 8 u^{\frac{7}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

ステップ 9.2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.13.1

$8$ を $112$ で因数分解します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

ステップ 9.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

ステップ 9.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.14

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.15

$x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{14}{14}$ を掛けます。

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.16

$x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{14}{14}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.18

$14$ を $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

ステップ 9.2.19

$\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ を積として書き換えます。

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

ステップ 9.2.20

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

ステップ 9.2.21

$14$ に $8$ をかけます。

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $6 x + 7$ で置き換えます。

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$

微分積分 例

微分積分例