微分積分例

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$x^{2} + 1$ を $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ で因数分解します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ で因数分解します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 10.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 11

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 14

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 15

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 16

$4$ と $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.2

各項を簡約します。

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ステップ 17.2.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.3

$4$ を $- 12 x^{2} + 4$ で因数分解します。

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ステップ 17.3.1

$4$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.3.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.3.3

$4$ を $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.4

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.6

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.7

$- (3 x^{2} - 1)$ を $- 1 (3 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 17.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

微分積分 例

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