微分積分例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 6 x^{2}$ です。

$4 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$2 x^{2}$ を $4 x^{3} - 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$2 x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $2 x^{2} (2 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 2 x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 2 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 2 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = \frac{3}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{3}{2}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{3^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{81}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.4

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{16} - 2 \frac{3^{3}}{2^{3}}$

ステップ 4.2.2.1.5

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{16} - 2 \frac{27}{2^{3}}$

ステップ 4.2.2.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{27}{8})$

ステップ 4.2.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{27}{8}$

ステップ 4.2.2.1.7.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.7.4

式を書き換えます。

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{27}{4})$

ステップ 4.2.2.1.8

$- 1 (\frac{27}{4})$ を $- (\frac{27}{4})$ に書き換えます。

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4}$

ステップ 4.2.2.2

$- \frac{27}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.2.3.1

$\frac{27}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16}$

ステップ 4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{16}$

ステップ 4.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.5.1

$- 27$ に $4$ をかけます。

$\frac{81 - 108}{16}$

ステップ 4.2.2.5.2

$81$ から $108$ を引きます。

$\frac{- 27}{16}$

ステップ 4.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{27}{16}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{27}{16})$

ステップ 5

微分積分 例

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