微分積分例

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 1

$x^{3} - 3 x^{2} - 9$ を $x^{3} - 3 x^{2}$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

ステップ 1.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$ の符号をすべて変更します。

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 5

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

ステップ 6

$9$ に $- 1$ をかけます。

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

ステップ 7

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x^{2}$ を $x^{3} - 3 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

ステップ 7.1.1.2

$x^{2}$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

ステップ 7.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

ステップ 7.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

ステップ 7.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x^{2} (x - 3)$ です。

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.5

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.1.2

$A (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.4.1

$x$ を $B (x^{2} (x - 3))$ で因数分解します。

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4.2.3

共通因数を約分します。

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4.2.4

式を書き換えます。

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.4.2.5

$B (x (x - 3))$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.5

分配則を当てはめます。

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.6

$x$ に $x$ をかけます。

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.7

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.8

分配則を当てはめます。

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.10

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.10.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

ステップ 7.1.6.10.2

$(C) (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

ステップ 7.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

$B$ を移動させます。

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

ステップ 7.1.7.2

$- 3 A$ を移動させます。

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

ステップ 7.1.7.3

$- 3 x B$ を移動させます。

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

ステップ 7.1.7.4

$A x$ を移動させます。

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

ステップ 7.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + C$

ステップ 7.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 3 A$

ステップ 7.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

ステップ 7.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$1 = - 3 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

方程式を $- 3 A = 1$ として書き換えます。

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.3.1.2

$- 3 A = 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 3 A = 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

ステップ 7.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$0 = A - 3 B$ の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{3}$ で置き換えます。

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

方程式を $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3

$- 3 B = \frac{1}{3}$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.1

$- 3 B = \frac{1}{3}$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.3.3

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.3.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.3.3.3.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

ステップ 7.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{9}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.1

$0 = B + C$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{9}$ で置き換えます。

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.4.2.1

括弧を削除します。

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.5

$0 = - \frac{1}{9} + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

方程式を $- \frac{1}{9} + C = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.5.2

方程式の両辺に $\frac{1}{9}$ を足します。

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.6

連立方程式を解きます。

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.7

すべての解をまとめます。

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.4

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.2

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.6

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

ステップ 7.5.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

ステップ 7.5.8

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{x - 3}$ をかけます。

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 11

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 11.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 11.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 13

$- x^{- 1}]_{4}^{5}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 15

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 16

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 17

$\ln (| x |)]_{4}^{5}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

ステップ 18

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

ステップ 19

$u = x - 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$u = x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 19.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 19.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 19.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 19.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 19.2

$u = x - 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 - 3$

ステップ 19.3

$4$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 19.4

$u = x - 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 3$

ステップ 19.5

$5$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 19.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 19.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 20

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

ステップ 21

$\frac{1}{9}$ と $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ をまとめます。

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

ステップ 22

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$5$ および $4$ で $x$ の値を求めます。

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

ステップ 22.2

$5$ および $4$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

ステップ 22.3

$5$ および $4$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

ステップ 22.4

$2$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.1

$5$ から $4$ を引きます。

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.4

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.5

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $20$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.6.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.6.2

$5$ に $4$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.6.3

$\frac{1}{4}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.6.4

$4$ に $5$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.7

公分母の分子をまとめます。

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.8

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.9

$\frac{\frac{1}{20}}{3}$ を積として書き換えます。

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.10

$\frac{1}{20}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.11

$20$ に $3$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.12

$- \frac{1}{60}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.13

$- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{20}{20}$ を掛けます。

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $180$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.14.1

$\frac{1}{60}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.14.2

$60$ に $3$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.14.3

$\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.14.4

$9$ に $20$ をかけます。

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.15

公分母の分子をまとめます。

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.16

$20$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

ステップ 22.5.17

$\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{20}{20}$ を掛けます。

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

ステップ 22.5.18

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $180$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.18.1

$\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

ステップ 22.5.18.2

$9$ に $20$ をかけます。

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

ステップ 22.5.19

公分母の分子をまとめます。

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

ステップ 22.5.20

$20$ を $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ の左に移動させます。

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

ステップ 22.5.21

$- 9$ と $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

ステップ 22.5.22

$- 9$ と $180$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.22.1

$9$ を $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ で因数分解します。

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

ステップ 22.5.22.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.5.22.2.1

$9$ を $180$ で因数分解します。

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

ステップ 22.5.22.2.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

ステップ 22.5.22.2.3

式を書き換えます。

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

ステップ 22.5.23

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

ステップ 23

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

ステップ 23.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

ステップ 23.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

ステップ 23.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

ステップ 24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

ステップ 24.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

ステップ 24.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

ステップ 24.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

ステップ 24.5

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

ステップ 24.6

分配則を当てはめます。

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

ステップ 24.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.7.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

ステップ 24.7.2

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

ステップ 24.7.3

$20$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

ステップ 24.8

$20$ と $3$ をたし算します。

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

ステップ 25

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

10進法形式：

$0.67999637 \dots$

ステップ 26

微分積分 例

微分積分例