微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} 2 - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $- 1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 2} x}$

ステップ 3

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{4}$

10進法形式：

$- 0.25$

微分積分 例

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