微分積分例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 24 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 24 x^{2}$ です。

$4 x^{3} - 24 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$4 x^{2}$ を $4 x^{3} - 24 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) - 24 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

$4 x^{2}$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 6) = 0$

ステップ 5.2.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 6)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x - 6) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 5.6

最終解は $4 x^{2} (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 6$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 48 \cdot 0$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 48 \cdot 0$

ステップ 9.1.3

$- 48$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $4 x^{3} - 24 x^{2}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 32 - 24 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 32 - 24 \cdot 4$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 32 - 96$

ステップ 10.2.2.2

$- 32$ から $96$ を引きます。

$f' (- 2) = - 128$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 128$ です。

$- 128$

ステップ 10.3

一次導関数 $4 x^{3} - 24 x^{2}$ の区間 $(0, 6)$ から $3$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 24 {(3)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 24 {(3)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 24 {(3)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 108 - 24 \cdot 9$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 24$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 216$

ステップ 10.3.2.2

$108$ から $216$ を引きます。

$f' (3) = - 108$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 108$ です。

$- 108$

ステップ 10.4

一次導関数 $4 x^{3} - 24 x^{2}$ の区間 $(6, \infty)$ から $8$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = 4 {(8)}^{3} - 24 {(8)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$f' (8) = 4 \cdot 512 - 24 {(8)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$4$ に $512$ をかけます。

$f' (8) = 2048 - 24 {(8)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$f' (8) = 2048 - 24 \cdot 64$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 24$ に $64$ をかけます。

$f' (8) = 2048 - 1536$

ステップ 10.4.2.2

$2048$ から $1536$ を引きます。

$f' (8) = 512$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $512$ です。

$512$

ステップ 10.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.6

$x = 6$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 6$ は極小値です。

$x = 6$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

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