微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.4

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{2 x}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{x (3 x)}{2 x}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{x (3 x)}{x \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{x (3 x)}{x \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{3 x}{2}$

ステップ 2

$\frac{3}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} lim_{x \to 2} x$

ステップ 3

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot 2$

ステップ 4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot 2$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$3$

微分積分 例

微分積分例