微分積分例

$\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t^{2}}$ を $t^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} t^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{3}}$ を $t^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.8

$\frac{3}{2}$ と $t^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.9

$2$ と $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 3.10

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.11

$2$ を $6 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 3.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 3.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.12.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 3.12.4

$3 t^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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