微分積分例

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x^{3} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 8$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 7

総和則では、 $x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 9

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

ステップ 10.2

$3$ と $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

ステップ 10.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

ステップ 10.4

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.5

$3$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11

共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$3$ を $3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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