微分積分例

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 48 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.3.3

$- 48$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$12 x^{2} - 48$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 48$ です。

$12 x^{2} - 48$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $48$ を足します。

$12 x^{2} = 48$

ステップ 2.3

$12 x^{2} = 48$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 x^{2} = 48$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{48}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$48$ を $12$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ を $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

ステップ 3.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

ステップ 3.1.2.1.4

$12$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 - 96 + 24$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$16$ から $96$ を引きます。

$f (2) = - 80 + 24$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 80$ と $24$ をたし算します。

$f (2) = - 56$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 56$ です。

$- 56$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, - 56)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, - 56)$

ステップ 3.3

$- 2$ を $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

ステップ 3.3.2.1.4

$12$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

ステップ 3.3.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$16$ から $96$ を引きます。

$f (- 2) = - 80 - 24$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 80$ から $24$ を引きます。

$f (- 2) = - 104$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 104$ です。

$- 104$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 104)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 104)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

ステップ 5.2.2

$52.92$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = 4.92$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $4.92$ です。

$4.92$

ステップ 5.3

$- 2.1$ で二次導関数は $4.92$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 48$

ステップ 6.2.2

$0$ から $48$ を引きます。

$f'' (0) = - 48$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$- 48$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $- 48$ です。これは負の値なので、 $(- 2, 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

ステップ 7.2.2

$52.92$ から $48$ を引きます。

$f'' (2.1) = 4.92$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $4.92$ です。

$4.92$

ステップ 7.3

$2.1$ で二次導関数は $4.92$ です。これは正の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例