微分積分例

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = x + 6$ および $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.6

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

ステップ 3.7

総和則では、 $x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.9

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

ステップ 3.10

式を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

ステップ 3.10.2

$\frac{x}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

ステップ 4

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

ステップ 5

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ と $\frac{x + 1}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1.1

$x + 6$ に $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

ステップ 7.1.1.2

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

ステップ 7.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

ステップ 7.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

ステップ 7.1.2

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.4.4

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.1.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ を積として書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 7.2.2

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2.3

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

ステップ 7.2.4

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

ステップ 7.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例