微分積分例

$\ln (x^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

ステップ 2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x \ln (x)$ とします。

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

ステップ 4

$e^{x \ln (x)}$ と $\frac{1}{x^{x}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 5

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 7.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 7.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

ステップ 8.2.2

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$

微分積分 例

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