微分積分例

$x^{4} - 6 x^{2} + 5$

ステップ 1

$x^{4} - 6 x^{2} + 5$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 12 x + 0$

ステップ 2.1.3.2

$4 x^{3} - 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 12$ です。

$12 x^{2} - 12$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$12 x^{2} = 12$

ステップ 3.3

$12 x^{2} = 12$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$12 x^{2} = 12$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{12}{12}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$12$ を $12$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 5$

ステップ 4.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 6 + 5$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (1) = - 5 + 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, 0)$

ステップ 4.3

$- 1$ を $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2} + 5$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 5$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1 + 5$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 6 + 5$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (- 1) = - 5 + 5$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (- 1) = 0$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, 0)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, 0), (- 1, 0)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

ステップ 6.2.2

$14.52$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = 2.52$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $2.52$ です。

$2.52$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $2.52$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 12$

ステップ 7.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f'' (0) = - 12$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $- 12$ です。これは負の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, 1)$ で減少

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

ステップ 8.2.2

$14.52$ から $12$ を引きます。

$f'' (1.1) = 2.52$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $2.52$ です。

$2.52$

ステップ 8.3

$1.1$ で二次導関数は $2.52$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1, 0), (1, 0)$ です。

$(- 1, 0), (1, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

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