微分積分例

$(x - 1) {(x^{2} - 2 x + 5)}^{5}$

ステップ 1

$u = x^{2} - 2 x + 5$ とします。次に $d u = (2 x - 2) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} - 2 x + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} - 2 x + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 5]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{5}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} {(x^{2} - 2 x + 5)}^{6} + C$

微分積分 例

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