微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x - 5}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 6 \cdot 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 6 \cdot 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 6$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 - 30 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.6.2

$25$ から $30$ を引きます。

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 5}$

ステップ 1.1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.9

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 6}{1}$

ステップ 1.4

$2 x - 6$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 5} 2 x - 6$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 6$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 6$

ステップ 2.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 6$

ステップ 3

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 5 - 1 \cdot 6$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$10 - 1 \cdot 6$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$10 - 6$

ステップ 4.2

$10$ から $6$ を引きます。

$4$

微分積分 例

微分積分例