微分積分例

$2 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$

ステップ 1

左辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.9

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.11

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.12

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

ステップ 3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

ステップ 3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

ステップ 3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

ステップ 3.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

ステップ 3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

ステップ 3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

ステップ 3.3.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

ステップ 3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

ステップ 3.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

両辺に $2 y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.1.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y' = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.2.1.1.3

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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