微分積分例

$e^{x^{2} + y} = x + y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y$ で置き換えます。

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 1 + y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 1 + y'$

ステップ 5.1.2

0を加えて簡約します。

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 1 + y'$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 1 + y'$

ステップ 5.1.4

式を簡約します。

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ステップ 5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 1 + y'$

ステップ 5.1.4.2

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 1 + y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - y' = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2 x e^{x^{2} + y}$ を引きます。

$y' e^{x^{2} + y} - y' = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.4

$y'$ を $y' e^{x^{2} + y} - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $y' e^{x^{2} + y}$ で因数分解します。

$y' (e^{x^{2} + y}) - y' = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (e^{x^{2} + y} - 1) = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.5

$y' (e^{x^{2} + y} - 1) = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$ の各項を $e^{x^{2} + y} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (e^{x^{2} + y} - 1) = 1 - 2 x e^{x^{2} + y}$ の各項を $e^{x^{2} + y} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 1)}{e^{x^{2} + y} - 1} = \frac{1}{e^{x^{2} + y} - 1} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 1}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$e^{x^{2} + y} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 1)}{e^{x^{2} + y} - 1} = \frac{1}{e^{x^{2} + y} - 1} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{e^{x^{2} + y} - 1} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 1}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 1}$

微分積分 例

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