微分積分例

$f (x) = x^{6} - 6 x^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{6} - 6 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{5}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$6 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} - 6 (5 x^{4})$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{5} - 30 x^{4}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{5} - 30 x^{4}$ です。

$6 x^{5} - 30 x^{4}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{5} - 30 x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{5} - 30 x^{4} = 0$

ステップ 2.2

$6 x^{4}$ を $6 x^{5} - 30 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6 x^{4}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$6 x^{4} (x) - 30 x^{4} = 0$

ステップ 2.2.2

$6 x^{4}$ を $- 30 x^{4}$ で因数分解します。

$6 x^{4} (x) + 6 x^{4} (- 5) = 0$

ステップ 2.2.3

$6 x^{4}$ を $6 x^{4} (x) + 6 x^{4} (- 5)$ で因数分解します。

$6 x^{4} (x - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.6

最終解は $6 x^{4} (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{6} - 6 x^{5}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{6} - 6 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 6 {(0)}^{5}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 6 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

${(5)}^{6} - 6 {(5)}^{5}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$5$ を $6$ 乗します。

$15625 - 6 {(5)}^{5}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ を $5$ 乗します。

$15625 - 6 \cdot 3125$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 6$ に $3125$ をかけます。

$15625 - 18750$

ステップ 4.2.2.2

$15625$ から $18750$ を引きます。

$- 3125$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (5, - 3125)$

ステップ 5

微分積分 例

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