微分積分例

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $6 x y$ を引きます。

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2

$3 y'$ を $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 y'$ を $3 x^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2.2

$3 y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.2.3

$3 y'$ を $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ で因数分解します。

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

ステップ 5.3

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ の各項を $3 (x^{2} + y^{2})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ の各項を $3 (x^{2} + y^{2})$ で割ります。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.1

$3$ を $- 6 x y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$x$ を $- x^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2.3

$x$ を $x (- x) + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.5

$- 1$ を $- (x) - (2 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.6.1

$- (x + 2 y)$ を $- 1 (x + 2 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$x (x + 2 y) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 7.2.3

$x + 2 y$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$x + 2 y$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 y = 0$

ステップ 7.2.3.2

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$x = - 2 y$

ステップ 7.2.4

最終解は $x (x + 2 y) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

ステップ 8.1.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

ステップ 8.1.1.3

$0$ に $y$ をかけます。

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

ステップ 8.1.1.4

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + y^{3} = 8$

ステップ 8.1.2

$0 + 0 + y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + y^{3} = 8$

ステップ 8.1.2.2

$0$ と $y^{3}$ をたし算します。

$y^{3} = 8$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$y^{3} - 8 = 0$

ステップ 8.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 8.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 2$ です。

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 8.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

ステップ 8.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

ステップ 8.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

ステップ 8.5

$y - 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$y - 2$ が $0$ に等しいとします。

$y - 2 = 0$

ステップ 8.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2$

ステップ 8.6

$y^{2} + 2 y + 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$y^{2} + 2 y + 4$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

ステップ 8.6.2

$y$ について $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8.6.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 8.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8.6.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 8.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 8.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8.6.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 8.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 8.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 8.7

最終解は $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 9

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

積の法則を $- 2 y$ に当てはめます。

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.3

積の法則を $- 2 y$ に当てはめます。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.4

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.1

$y$ を移動させます。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.4.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$- 8 y^{3}$ と $12 y^{3}$ をたし算します。

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

ステップ 9.1.2.2

$4 y^{3}$ と $y^{3}$ をたし算します。

$5 y^{3} = 8$

ステップ 9.2

$5 y^{3} = 8$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$5 y^{3} = 8$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

ステップ 9.2.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{8}{5}$

ステップ 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

ステップ 9.4

$\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ を $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 9.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 9.4.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 9.4.3

$\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 9.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.1

$\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 9.4.4.2

$\sqrt[3]{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 9.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

ステップ 9.4.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

ステップ 9.4.4.5

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 9.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{5}$ を $5^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 9.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 9.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 9.4.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 9.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

ステップ 9.4.4.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

ステップ 9.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.5.1

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ を $\sqrt[3]{5^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

ステップ 9.4.5.2

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例