微分積分例

$x^{2} + y^{2} = - 2 x$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} = - 2 x - x^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- 2 x - x^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ を $- 2 x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 2 - x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 2 + x (- x)}$

ステップ 1.3.3

$x$ を $x \cdot - 2 + x (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{x (- 2 - x)}$

ステップ 1.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x (- 2 - x)}$

ステップ 1.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x (- 2 - x)}$

ステップ 1.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 2 - x)}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (- 2 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 2 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 2 - x)}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = - 2 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 x)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

微分します。

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ステップ 3.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 3.2.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 3.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = - 2$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' = - 2 - 2 x$

ステップ 3.5.2

$2 y y' = - 2 - 2 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2 y y' = - 2 - 2 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot - 1}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot - 1}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot - 1}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 1}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.3.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.3.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{1}{y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{y} - \frac{x}{y} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $\frac{1}{y}$ を足します。

$- \frac{x}{y} = \frac{1}{y}$

ステップ 4.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$- x = 1$

ステップ 4.3

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- x = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (- 2 - x)}$ at $x = - 1$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \sqrt{(- 1) (- 2 - (- 1))}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \sqrt{- 1 (- 2 + 1)}$

ステップ 5.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \sqrt{1}$

ステップ 5.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (- 1) = 1$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (- 2 - x)}$ at $x = - 1$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - \sqrt{(- 1) (- 2 - (- 1))}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - \sqrt{- 1 (- 2 + 1)}$

ステップ 6.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - \sqrt{1}$

ステップ 6.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (- 1) = - 1 \cdot 1$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 1, y = - 1$

$y = 1, y = - 1$

ステップ 8

微分積分 例

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