微分積分例

$\int u^{2} \sqrt{u^{3} + 2} d u$

ステップ 1

$u_{1} = u^{3} + 2$ とします。次に $d u_{1} = 3 u^{2} d u$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = u^{2} d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = u^{3} + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$u^{3} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [u^{3} + 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $u^{3} + 2$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [2]$ です。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [2]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} + \frac{d}{d u} [2]$

ステップ 1.1.4

$2$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 u^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 u^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 u^{2}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

$\sqrt{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{9} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u_{1}$ のすべての発生を $u^{3} + 2$ で置き換えます。

$\frac{2}{9} {(u^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例