微分積分例

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{16} (x - 5) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

$(x - 5) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{16} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{16} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{16} x^{1 - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 \int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$16$ および $1$ で $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

ステップ 9.2

$16$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.4

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.5

$\frac{2}{3}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.6

$2$ に $64$ をかけます。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{128 - 2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.10

$128$ から $2$ を引きます。

$\frac{126}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11

$126$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.11.1

$3$ を $126$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 42}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 42}{3 (1)} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{42}{1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.11.2.4

$42$ を $1$ で割ります。

$42 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.12

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$42 - 5 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.13

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.14.1

共通因数を約分します。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.14.2

式を書き換えます。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.15

指数を求めます。

$42 - 5 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.16

$2$ に $4$ をかけます。

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3.17

1のすべての数の累乗は1です。

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1)$

ステップ 9.3.18

$- 2$ に $1$ をかけます。

$42 - 5 (8 - 2)$

ステップ 9.3.19

$8$ から $2$ を引きます。

$42 - 5 \cdot 6$

ステップ 9.3.20

$- 5$ に $6$ をかけます。

$42 - 30$

ステップ 9.3.21

$42$ から $30$ を引きます。

$12$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例