微分積分例

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt{x - 7}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 4

$u = x - 7$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x - 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.4

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u = x - 7$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 7 - 7$

ステップ 4.3

$7$ から $7$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = x - 7$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 - 7$

ステップ 4.5

$8$ から $7$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$8$ および $7$ で $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 6.2

$1$ および $0$ で $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$8$ から $7$ を引きます。

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.4

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.5

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.6

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.10

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.11

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.12.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.12.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.13

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.14

$\frac{16}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.15

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.16

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.17

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

ステップ 6.3.18

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

ステップ 6.3.19

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.19.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

ステップ 6.3.19.2

式を書き換えます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

ステップ 6.3.20

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

ステップ 6.3.21

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

ステップ 6.3.22

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

ステップ 6.3.23

$\frac{2}{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

ステップ 6.3.24

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

ステップ 6.3.25

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

ステップ 6.3.26

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

ステップ 6.3.27

$\frac{16}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

ステップ 6.3.28

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.28.1

$\frac{16}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

ステップ 6.3.28.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

ステップ 6.3.29

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

ステップ 6.3.30

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.30.1

$16$ に $5$ をかけます。

$\frac{80 - 4}{15}$

ステップ 6.3.30.2

$80$ から $4$ を引きます。

$\frac{76}{15}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{76}{15}$

10進法形式：

$5.0\overline{6}$

帯分数形：

$5 \frac{1}{15}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例