微分積分例

$\int x e^{6 x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{6 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{e^{6 x}}{6}$ をまとめます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x)$

ステップ 4

$u = 6 x$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 6 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 4.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

ステップ 5

$e^{u}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u$

ステップ 7.2

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$

ステップ 9

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x} + C$

微分積分 例

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