微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \tan (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4 \tan^{2} (t) + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$4$ を $4 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.2.3

$4$ を $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4 \sec^{2} (t)$ を ${(2 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2 \sec (t)$ を $2 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 2.2.1.3

式を書き換えます。

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ を $2 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2.2

積の法則を $2 (\tan (t))$ に当てはめます。

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 3

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 5

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

簡約します。

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 8.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

ステップ 12.2

簡約します。

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u$ のすべての発生を $\sec (t)$ で置き換えます。

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

ステップ 13.2

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

交点 $(1, \frac{x}{2})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{x}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ は $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ です。

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.2

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.5

公分母の分子をまとめます。

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.6.1

$4 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.6.3

分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{4 + x^{2}}$ をまとめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

ステップ 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.10

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.12

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.13

公分母の分子をまとめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.14

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.14.1

$4 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.14.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.14.3

分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

ステップ 14.1.15

累乗根の下から項を取り出します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

ステップ 14.1.16

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{4 + x^{2}}$ をまとめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

ステップ 14.1.17

積の法則を $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ に当てはめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

ステップ 14.1.18

まとめる。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

ステップ 14.1.19

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ に $1$ をかけます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

ステップ 14.1.20

$2$ を $3$ 乗します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.21.1

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ を $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ に書き換えます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.2

${(4 + x^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.3

累乗根の下から項を取り出します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.4

分配則を当てはめます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.5

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.21.5.1

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ で因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.5.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ で因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.21.5.3

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ で因数分解します。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

ステップ 14.1.22

$3$ に $8$ をかけます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

ステップ 14.2

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

ステップ 14.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $24$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

ステップ 14.3.2

$2$ に $12$ をかけます。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

ステップ 14.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$8$ を $24$ で因数分解します。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

ステップ 14.5.2

共通因数を約分します。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

ステップ 14.5.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1.1

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.6.1.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.6.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.6.3

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.7

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

ステップ 14.8

$- 1$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

ステップ 14.9

$- 1$ を $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

ステップ 14.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例