微分積分例

$\int \ln (5 x - 4) d x$

ステップ 1

$u = \ln (5 x - 4)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{5}{5 x - 4}$ をまとめます。

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

ステップ 2.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

ステップ 3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

ステップ 4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

ステップ 5

$x$ を $5 x - 4$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$5 x$

$4$

$x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $5 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - \frac{4}{5}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

ステップ 8

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{4}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

ステップ 9

$u = 5 x - 4$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = 5 x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$5 x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $5 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 9.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 9.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 9.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 9.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 9.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 9.1.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 9.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

ステップ 10.2

$5$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

ステップ 10.3

$\frac{1}{5}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{4}{5}$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 12.2

$5$ に $5$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

ステップ 14

簡約します。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $5 x - 4$ で置き換えます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

ステップ 16.1.2

$\frac{4}{25}$ と $\ln (| 5 x - 4 |)$ をまとめます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

ステップ 16.2

$\frac{x}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

ステップ 16.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.3.1

$\frac{x}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

ステップ 16.3.2

$5$ に $5$ をかけます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

ステップ 16.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

ステップ 16.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.5.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

ステップ 16.5.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

ステップ 16.5.3

共通因数を約分します。

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

ステップ 16.5.4

式を書き換えます。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

ステップ 16.6

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

微分積分 例

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