微分積分例

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

ステップ 2

$u = x^{2} - 3$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2} - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$u^{7}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ を $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$

微分積分 例

微分積分例