微分積分例

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \sqrt{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{2}{3} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

ステップ 5

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u - 1) d u$

ステップ 6

$u^{\frac{3}{2}} (u - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d u$

ステップ 6.2

$u^{\frac{3}{2}}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6.7

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

$- 1 u^{\frac{3}{2}}$ を $- u^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{5}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ です。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

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ステップ 12.1.1

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

ステップ 12.1.2

$\frac{2}{7}$ と $u^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

ステップ 12.2

簡約します。

$\frac{2}{3} x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 12.3.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ と ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 12.3.3

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 12.3.4

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 12.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 12.3.6

$\frac{2}{7}$ と $u^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 12.3.7

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 12.3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.9

$- 3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.10

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.11

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.11.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.11.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

ステップ 12.3.12

$2$ を $u^{\frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$

微分積分 例

微分積分例