微分積分例

$\int \frac{\ln (5 x)}{x} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \ln (5 x)$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \ln (5 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (5 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$5$ と $\frac{1}{5 x}$ をまとめます。

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (5 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (5 x) + C$

微分積分 例

微分積分例