微分積分例

$\int e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{3} d x$

ステップ 1

$u_{2} = 1 + e^{2 x}$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = 1 + e^{2 x}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + e^{2 x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.1.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$0 + 2 e^{2 x}$

ステップ 1.1.4

$0$ と $2 e^{2 x}$ をたし算します。

$2 e^{2 x}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

${u_{2}}^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + e^{2 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(1 + e^{2 x})}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例