微分積分例

$22 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (t)$ を $1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$22 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

ステップ 5

$u = \cos (t)$ とします。次に $d u = - \sin (t) d t$ すると、 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = \cos (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 5.1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 5.2

$u = \cos (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 5.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = \cos (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 5.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$22 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$22 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$22 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 7.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$22 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 7.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$22 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$22 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$22 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$22 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$22 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$22 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

ステップ 13

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$22 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$0$ および $1$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$22 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

ステップ 14.2

$0$ および $1$ で $\frac{u^{5}}{5}$ の値を求めます。

$22 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$22 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$22 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$22 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$22 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.2.2.3

式を書き換えます。

$22 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$22 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$22 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.4

$0$ から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$22 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$22 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.6

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.8

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.8.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.8.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.8.2.3

式を書き換えます。

$22 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.8.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$22 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

ステップ 14.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$22 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

ステップ 14.3.10

$0$ から $\frac{1}{5}$ を引きます。

$22 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

ステップ 14.3.11

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$22 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

ステップ 14.3.12

$- \frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$22 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 14.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 14.3.13.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$22 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 14.3.13.2

$3$ に $5$ をかけます。

$22 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 14.3.13.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$22 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

ステップ 14.3.13.4

$5$ に $3$ をかけます。

$22 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

ステップ 14.3.14

公分母の分子をまとめます。

$22 \frac{5 - 3}{15}$

ステップ 14.3.15

$5$ から $3$ を引きます。

$22 (\frac{2}{15})$

ステップ 14.3.16

$22$ と $\frac{2}{15}$ をまとめます。

$\frac{22 \cdot 2}{15}$

ステップ 14.3.17

$22$ に $2$ をかけます。

$\frac{44}{15}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{44}{15}$

10進法形式：

$2.9\overline{3}$

帯分数形：

$2 \frac{14}{15}$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例