微分積分例

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$e^{z}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

ステップ 1.2

${(e^{z})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

ステップ 1.2.2

$- 1$ を $z$ の左に移動させます。

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

ステップ 1.2.3

$- 1 z$ を $- z$ に書き換えます。

$\int z e^{- z} d z$

ステップ 2

$u = z$ と $d v = e^{- z}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

ステップ 3

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

ステップ 4.2

$\int e^{- z} d z$ に $1$ をかけます。

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

ステップ 5

$u = - z$ とします。次に $d u = - d z$ すると、 $- d u = d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - z$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- z$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [- z]$

ステップ 5.1.2

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$- \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

ステップ 8

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ を $- z e^{- z} - e^{u} + C$ に書き換えます。

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $- z$ で置き換えます。

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$

微分積分 例

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