微分積分例

$\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{2} - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 + x}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(2 + x) (2 - x)$ です。

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.5

$2 + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.6

$2 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$2 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) (2 - x)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.3

$2$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.5

$2 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

ステップ 1.1.7.5.2

$(B) (2 + x)$ を $1$ で割ります。

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

ステップ 1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

ステップ 1.1.7.7

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

ステップ 1.1.8.3

$2 B$ を移動させます。

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

ステップ 1.1.8.4

$2 A$ を移動させます。

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 2 A + 2 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$0 = - 1 A + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 1 A + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

ステップ 1.3.1.2

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

ステップ 1.3.1.3

方程式の両辺に $A$ を足します。

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $A$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$1 = 2 A + 2 B$ の $B$ のすべての発生を $A$ で置き換えます。

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$2 A$ と $2 A$ をたし算します。

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

ステップ 1.3.3

$1 = 4 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $4 A = 1$ として書き換えます。

$4 A = 1$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$4 A = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

ステップ 1.3.4

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.4.1

$B = A$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.4.2.1

括弧を削除します。

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2 + x}$ をかけます。

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

ステップ 1.5.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2 - x}$ をかけます。

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

ステップ 4

$u_{1} = 2 + x$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 2 + x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $2 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x$

ステップ 7

$u_{2} = 2 - x$ とします。次に $d u_{2} = - d x$ すると、 $- d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 2 - x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

ステップ 11.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| u_{2} |)$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

ステップ 12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 - x |) + C$

微分積分 例

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