微分積分例

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$e$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

ステップ 4.2

$e$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

ステップ 5.1.2

$e$ に $1$ をかけます。

$e - \ln (1) - (e - 1)$

ステップ 5.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e - 0 - (e - 1)$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e + 0 - (e - 1)$

ステップ 5.1.5

分配則を当てはめます。

$e + 0 - e - - 1$

ステップ 5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e + 0 - e + 1$

ステップ 5.2

$e$ と $0$ をたし算します。

$e - e + 1$

ステップ 5.3

$e$ から $e$ を引きます。

$0 + 1$

ステップ 5.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

微分積分 例

微分積分例