微分積分例

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

ステップ 3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $0$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 4.2

$1$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

簡約します。

$2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3.2

$e$ に $1$ をかけます。

$2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3.4

$0$ に $1$ をかけます。

$2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3.5

$e$ と $0$ をたし算します。

$2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$2 (e - (e - e^{0}))$

ステップ 4.3.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

ステップ 4.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (e - (e - 1))$

$2 (e - (e - 1))$

$2 (e - (e - 1))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (e - e - - 1)$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (e - e + 1)$

$2 (e - e + 1)$

ステップ 5.2

$e$ から $e$ を引きます。

$2 (0 + 1)$

ステップ 5.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

$2$

ステップ 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$