微分積分例

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (e^{x} + x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + x$ とします。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + x$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $e^{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6.2

$e^{x} + 1$ に $\frac{1}{e^{x} + x}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

ステップ 4.3

指数に極限を移動させます。

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 4.6

指数に極限を移動させます。

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{\frac{1 + 1}{e^{0} + 0}}$

ステップ 6.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{\frac{2}{e^{0} + 0}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{\frac{2}{1 + 0}}$

ステップ 6.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{2}{1}}$

ステップ 6.3

$2$ を $1$ で割ります。

$e^{2}$

微分積分 例

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