微分積分例

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

ステップ 1

$f (t) = - 1$ および $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ を ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.2

${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 3

$f (t) = t^{- 2}$ および $g (t) = 3 + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + t$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 + t$ で置き換えます。

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.2

総和則では、 $3 + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.3

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [t]$ をたし算します。

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 4.7

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 4.8

式を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

ステップ 4.8.2

$2 {(3 + t)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

ステップ 5.2

$2$ と $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例