微分積分例

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = \sin (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (y^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\sin (y^{2})$ に $1$ をかけます。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ の因数を並べ替えます。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ の因数を並べ替えます。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2 x y y' \cos (y^{2})$ を引きます。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $2 x y \cos (x^{2})$ を引きます。

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

ステップ 5.5

$y'$ を $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $y' \sin (x^{2})$ で因数分解します。

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ で因数分解します。

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ で因数分解します。

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

ステップ 5.6

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ の各項を $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ の各項を $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ で割ります。

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

ステップ 5.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

微分積分 例

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