微分積分例

$\sin (x^{2} y^{2}) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2} y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} y^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.4

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

ステップ 2.7

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

ステップ 2.8.2

項を並べ替えます。

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ の因数を並べ替えます。

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ を引きます。

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.3

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ の各項を $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ の各項を $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.4

$\cos (x^{2} y^{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.2.4.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})}$ を $\sec (x^{2} y^{2})$ に変換します。

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \sec (x^{2} y^{2}) + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.3

$\frac{1}{2 x^{2} y}$ と $\sec (x^{2} y^{2})$ をまとめます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.4.1

$2$ を $- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.4.2.1

$2$ を $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1

$y$ を $- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.2.1

$y$ を $x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.6.1

$x$ を $- y x \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.6.2.1

$x$ を $x^{2} \cos (x^{2} y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

ステップ 5.3.3.1.6.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.7

$\cos (x^{2} y^{2})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.7.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

ステップ 5.3.3.1.7.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.3.3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

微分積分 例

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