微分積分例

$\arctan (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$2$ と $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$

微分積分 例