微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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