微分積分例

$\ln (\sqrt[3]{x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{3}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 10

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 12

分母を簡約します。

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ステップ 12.1

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 12.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

ステップ 12.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 12.1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{1}{3 x^{1}}$

ステップ 12.2

$3 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{3 x}$

微分積分 例

微分積分例