微分積分例

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

ステップ 1

$f (t) = e^{- t}$ および $g (t) = 1 + t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- t$ とします。

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ を $(1 + t^{2}) e^{- t}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- 1 (1 + t^{2})$ を $- (1 + t^{2})$ に書き換えます。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ をたし算します。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$e^{- t}$ を $- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.1

$e^{- t}$ を $- e^{- t} t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.2

$e^{- t}$ を $- 2 e^{- t} t$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.3

$e^{- t}$ を $- e^{- t}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.4

$e^{- t}$ を $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.5

$e^{- t}$ を $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

群による因数分解。

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ステップ 4.5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.5.2.1.1

$- 2$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 2$ を $- 1$ プラス $- 1$ に書き換える

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2.3

最大公約数 $- t - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3

指数をまとめます。

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ステップ 4.5.3.1

$- 1$ を $- t$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.3

$- 1$ を $- (t) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.4

$- (t + 1)$ を $- 1 (t + 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.5

$t + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.6

$t + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.4

負をくくり出します。

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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