微分積分例

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3

掛け算します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.5.2

$2 x + x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

ステップ 4.7

$x^{2} - \frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

ステップ 5

$x (2 x + x^{- 2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

ステップ 8

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3

項をまとめます。

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ステップ 11.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 11.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.2

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.3

$x^{2}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

ステップ 11.3.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

ステップ 11.3.5

$1$ から $1$ を引きます。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

ステップ 11.3.6

$2 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

ステップ 11.3.7

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.7.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

ステップ 11.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

ステップ 11.3.7.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 11.3.7.2.3

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

ステップ 11.3.7.2.4

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

ステップ 11.3.7.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + 2 x^{2}$

ステップ 11.3.8

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

微分積分 例

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