微分積分例

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + x$ および $g (x) = x^{3} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

ステップ 2.6

総和則では、 $x^{3} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

ステップ 3.1.2

$1$ を $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

ステップ 3.1.3

$1$ を $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ で因数分解します。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

ステップ 3.2

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ に $1$ をかけます。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.1.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.3

$- 1 x^{3}$ を $- x^{3}$ に書き換えます。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.2.2

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.3.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

ステップ 3.4.3.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.5

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

ステップ 3.4.4.1.6

$- x$ に $1$ をかけます。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

ステップ 3.4.4.2

$- 3 x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

ステップ 3.5

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

ステップ 3.5.2

$3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

ステップ 3.6

$3 x^{5}$ と $3 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - x - x$

ステップ 3.7

$- x$ から $x$ を引きます。

$6 x^{5} - 2 x$

微分積分 例

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