微分積分例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.1.1

$2 x^{2} x$ から $2 x^{2} x$ を引きます。

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$2 \cdot - 1 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

ステップ 3.7.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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