微分積分例

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

ステップ 2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

ステップ 2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

ステップ 2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

ステップ 2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ を ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.2

${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 3.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 4.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 8.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 9.2

${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 9.4

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 9.5

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 10

総和則では、 $x + x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

ステップ 12

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 15

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 16.2

$3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 17

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ の因数を並べ替えます。

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.4

$- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5

分子を簡約します。

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ステップ 18.5.1

$- 1$ を $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ で因数分解します。

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ステップ 18.5.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5.1.2

$- 1$ を $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5.1.4

$- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ を $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ に書き換えます。

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.7

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 18.7.1

$\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 18.7.2

$2$ に $8$ をかけます。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例