微分積分例

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\cos (x) - \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\cos (x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 8

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 9

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 11

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 12

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 13

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 14

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 14.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 14.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 14.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 15

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 16

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 17

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 18

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 18.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 18.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 18.3

分子を簡約します。

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ステップ 18.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 18.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 19

方程式 $x = \frac{π}{4}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

ステップ 20

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 21

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 21.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 21.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 21.2.2

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 21.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.3.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 21.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 21.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 21.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 21.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{2}$

ステップ 22

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 23

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 23.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 23.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 23.2.2.2

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 23.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 23.2.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

ステップ 23.2.3

最終的な答えは $\sqrt{2}$ です。

$y = \sqrt{2}$

ステップ 24

$x = \frac{5 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 25

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 25.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 25.1.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 25.1.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 25.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 25.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.1.6

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.1.6.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.2.2

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 25.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 25.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 26

$x = \frac{5 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{4}$ は極小値です

ステップ 27

$x = \frac{5 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 27.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 27.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 27.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 27.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 27.2.2.2

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 27.2.2.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.3.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 27.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 27.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 27.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

ステップ 27.2.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

ステップ 27.2.3

最終的な答えは $- \sqrt{2}$ です。

$y = - \sqrt{2}$

ステップ 28

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ は極小値です

ステップ 29

微分積分 例

微分積分例