微分積分例

$y = 16^{4} \sqrt{4 x^{4} + 4}$

ステップ 1

$16$ を $4$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 x^{4} + 4}]$ を $\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$ に書き換えます。

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ステップ 2.1

$4 x^{4} + 4$ を $2^{2} (x^{4} + 1)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4}]$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (1)}]$

ステップ 2.1.3

$4$ を $4 (x^{4}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{4 (x^{4} + 1)}]$

ステップ 2.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [65536 \sqrt{2^{2} (x^{4} + 1)}]$

ステップ 2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [65536 (2 \sqrt{x^{4} + 1})]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$2$ に $65536$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [131072 \sqrt{x^{4} + 1}]$

ステップ 3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{4} + 1}$ を ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$131072$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $131072 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$131072 \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} + 1$ とします。

$131072 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$131072 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} + 1$ で置き換えます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$131072 (\frac{1}{2} {(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$131072 (\frac{{(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{4} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$131072 (\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

ステップ 12

$\frac{1}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $131072$ をまとめます。

$\frac{131072}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

ステップ 13

$2$ を $131072$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 65536}{2 ({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 65536}{2 {(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

ステップ 15

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 16

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 17

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 18

分数をまとめます。

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ステップ 18.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

ステップ 18.2

$4$ と $\frac{65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 65536}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

ステップ 18.3

$4$ に $65536$ をかけます。

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

ステップ 18.4

$\frac{262144}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{262144 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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