微分積分例

$y = x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

ステップ 1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

ステップ 1.4.1.3

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

ステップ 1.4.2.2

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

ステップ 1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.4.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.4.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.5.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.5.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.5.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 1.4.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ を展開します。

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.3

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.7.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.6

$- 8$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.7

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.8

$4$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

ステップ 1.4.7.9

$16$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 1.4.8

$- 4 x^{2}$ から $32 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 1.4.9

$32 x$ と $64 x$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $96 x$ の微分係数は $96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.4.3

$96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

ステップ 2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $12 x^{2} - 72 x + 96$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.3.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$96$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $96$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

ステップ 3.4.2

$24 x - 72$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 24 x - 72$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $24 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 4.2.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 24 + 0$

ステップ 4.3.2

$24$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 24$

微分積分 例

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